矩阵A一共对应着4个基本子空间，分别是列空间、行空间、零空间以及左零空间
行空间
设一m行n列实元素矩阵为\\(A\\)(mxn),则其行空间(Row Space)是由矩阵A的所有行向量所生成的\\(R^n\\)上的子空间，记作\\(C(A^{\\mathrm{T}})\\)或\\(R(A)\\)。其中，矩阵\\(A^{\\mathrm{T}}\\)是矩阵A的转置。
矩阵A的行空间中的所有向量均为矩阵A的行向量的某种线性组合，都为\\(R^n\\)上的向量（即n维向量）。
矩阵A对应的行空间维度等于矩阵A的行秩，最大为min(m,n)。即：
dim \\(C(A^{\\mathrm{T}})\\) = dim \\(R(A)\\) = rank(\\(A^{\\mathrm{T}}\\)) ≤ min(m,n)
行空间\\(C(A^{\\mathrm{T}})\\)的一组自然基底是矩阵A的行向量的最大线性无关组。
列空间
既然行空间是矩阵A所有行向量的线性组合，那么可以想到A对应的列空间应该是所有列向量的线性组合。
设一m行n列实元素矩阵为\\(A\\)(mxn),则其行空间(Col Space)是由矩阵A的所有列向量生成的\\(R^m\\)上的子空间，记作\\(C(A)\\)。
矩阵A的列空间\\(C(A)\\)中的所有向量均为矩阵A中列向量的某种线性组合，都为\\(R^m\\)上的向量（即m维向量）。
\\(C(A)\\)的维度等于矩阵A的列秩，最大为min(m,n)。即：
dim \\(C(A)\\) = rank(\\(A\\)) ≤ min(m,n)
列空间\\(C(A)\\)的一组自然基底是矩阵A的列向量的最大线性无关组。
零空间
在数学中，一个矩阵A的零空间是方程\\(Ax = 0\\)的所有解\\(x\\)的集合。它也叫做A的核, 核空间，记为\\(Null(A)\\)。
想像一下，方程\\(Ax = 0\\)的解通常有哪种可能？我想大概分为两种可能：
- \\(Null(A)\\)仅有零解
- \\(Null(A)\\)包含零解和无穷多个非零解
所以，不管怎么样，\\(Null(A)\\)都至少包含零向量
左零空间
与零空间类似，只不过A的左零空间是方程\\(A^{\\mathrm{T}}x = 0\\)的所有解\\(x\\)的集合。记为\\(Null(A^{\\mathrm{T}})\\)
同样的，解集同样至少包含零解
四个基本子空间的性质
对于一个mxn矩阵\\(A\\)来说：
- 行空间与零空间正交
- 列空间与左零空间正交
- dim \\(R(A)\\) + dim \\(Null(A)\\) = m，即行空间的维度+零空间的维度=行数
- dim \\(C(A)\\) + dim \\(Null(A^{\\mathrm{T}})\\) = n，即列空间的维度+左零空间的维度=列数
性质证明
要证明两个子空间正交，先来给定子空间正交的定义是什么：若(内积空间)的子空间A和B满足一者中的每个向量都与另一者正交，那么它们互为正交子空间。其中内积空间是添加了内积运算的向量空间。
好吧，反正就是证明矩阵A对应的行空间中的每个向量都与零空间中每个向量正交即可。有mxn矩阵\\(A\\)，将它写为下面这个形式:\\[ \\left[ \\begin{matrix} row & 1 & of & A \\\\ row & 2 & of & A \\\\ row & 3 & of & A \\\\ &\\ .\\\\ &\\ . \\\\ &\\ . \\\\ row & m & of & A \\end{matrix} \\right] \\]
我们要求\\(Ax = 0\\)，让我们用上面这种形式写一遍：\\[ \\begin{equation} \\left[ \\begin{matrix} row & 1 & of & A \\\\ row & 2 & of & A \\\\ row & 3 & of & A \\\\ &\\ .\\\\ &\\ . \\\\ &\\ . \\\\ row & m & of & A \\end{matrix} \\right] \\left[ \\begin{matrix} x_1\\\\ x_2\\\\ x_3\\\\ .\\\\ .\\\\ .\\\\ x_n \\end{matrix} \\right]=\\left[ \\begin{matrix} 0\\\\ 0\\\\ 0\\\\ .\\\\ .\\\\ .\\\\ 0 \\end{matrix} \\right] \\end{equation} \\]
所以，如果有一个向量\\(v\\)属于\\(Null(A)\\)，显然，将\\(v\\)带入(1)式是成立的。所以A中的每一行，即每个行向量都与向量\\(v\\)都正交。而A的行空间是行向量们的线性组合，所以\\(v\\)与A的行空间是正交的。同理，对于\\(Null(A)\\)中的其他向量，也和\\(v\\)一样与A的行空间是正交。因此，足以证明A行空间与零空间正交。
同样的，可以证明A的列空间与左零空间正交，这里不再赘述。
举例
好吧，举个实际的例子，这样以后看到也能马上想起来，哦，确实是这样。
给出一个3x2的矩阵\\[A= \\left[ \\begin{matrix} 2 & 4 & 1 \\\\ 3 & 1 & 2 \\end{matrix} \\right]\\]
这个矩阵是我胡编的，让我们分别求一下A对应的行空间、列空间、零空间以及左零空间
求解行空间
显然，在A矩阵里有两个行向量\\(\\overrightarrow{r_1}, \\overrightarrow{r_2}\\)，它们分别是\\[ \\overrightarrow{r_1}=\\left[ \\begin{matrix} 2\\\\ 4\\\\ 1 \\end{matrix} \\right] \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\overrightarrow{r_2}=\\left[ \\begin{matrix} 3\\\\ 1\\\\ 2 \\end{matrix} \\right] \\]
它们线性无关，所以\\(\\overrightarrow{r_1}, \\overrightarrow{r_2}\\)可以作为行空间中的一组基。它俩张成了A的行空间，\\(R(A)\\)中的任意一个向量都可以表示为\\[ \\begin{equation} λ_1*\\left[ \\begin{matrix} 2\\\\ 4\\\\ 1 \\end{matrix} \\right]+ λ_2*\\left[ \\begin{matrix} 3\\\\ 1\\\\ 2 \\end{matrix} \\right]，其中λ_1、λ_2是任意实数 \\end{equation} \\]
我们已经求得了A的行空间\\(R(A)\\)
求解列空间
显然，在A矩阵里有三个列向量\\(\\overrightarrow{r_1}, \\overrightarrow{r_2}, \\overrightarrow{r_3}\\)，它们分别是\\[ \\overrightarrow{r_1}= \\begin{equation} \\left[ \\begin{matrix} 2\\\\ 3 \\end{matrix} \\right] \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\overrightarrow{r_2}=\\left[ \\begin{matrix} 4\\\\ 1 \\end{matrix} \\right] \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\overrightarrow{r_3}=\\left[ \\begin{matrix} 1\\\\ 2 \\end{matrix} \\right] \\end{equation}\\]
它们线性无关，所以\\(\\overrightarrow{r_1}, \\overrightarrow{r_2}, \\overrightarrow{r_3}\\)可以作为行空间中的一组基，张成了A的列空间，\\(C(A)\\)中的任意一个向量都可以表示为\\[ λ_1*\\left[ \\begin{matrix} 2\\\\ 3 \\end{matrix} \\right]+ λ_2*\\left[ \\begin{matrix} 4\\\\ 1 \\end{matrix} \\right]+ λ_3*\\left[ \\begin{matrix} 1\\\\ 2 \\end{matrix} \\right]，其中λ_1、λ_2、λ_3是任意实数 \\]
我们已经求得了A的列空间\\(R(A)\\)。
这里的行空间与列空间刚好由矩阵A的每行每列表示是因为我选的矩阵恰好是行满秩与列满秩，行空间由行向量组成的极大线性无关组表示，同理，列空间由列向量组成的极大线性无关组表示
求解零空间
那就是求解\\[ \\begin{equation} \\left[ \\begin{matrix} 2 & 4 & 1 \\\\ 3 & 1 & 2 \\end{matrix} \\right] \\left[ \\begin{matrix} x_1 \\\\ x_2 \\\\ x_3 \\end{matrix} \\right] =\\left[ \\begin{matrix} 0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\end{matrix} \\right] \\end{equation}\\]
使用高斯消元等到A矩阵的行最简形\\[ U=\\begin{equation} \\left[ \\begin{matrix} -1 & -3 & 1 \\\\ 0 & 10 & -1 \\end{matrix} \\right] \\end{equation} \\]
可以得到解的集合为\\[ x=k \\begin{equation} \\left[ \\begin{matrix} 14 \\\\ -1 \\\\ 10 \\end{matrix} \\right] \\end{equation} \\]
求解左零空间
将矩阵A转置有\\[ A^{\\mathrm{T}}= \\begin{equation} \\left[ \\begin{matrix} 2 & 3 \\\\ 4 & 1 \\\\ 1 & 2 \\end{matrix} \\right] \\end{equation} \\]
求解\\[ \\begin{equation} \\left[ \\begin{matrix} 2 & 3 \\\\ 4 & 1 \\\\ 1 & 2 \\end{matrix} \\right] \\left[ \\begin{matrix} x_1 \\\\ x_2 \\end{matrix} \\right] =\\left[ \\begin{matrix} 0 \\\\ 0 \\end{matrix} \\right] \\end{equation}\\]
以我多年的做题经验（笑），这个应该只有零解。
总结
四个空间都求出来了，加加它们的维度也是满足之前给出的子空间的性质，不同空间对应的基包含的向量也是相互正交的。
