通用法考虑了所有力的平衡条件和所有力的作用，各种方法对底滑面上的力 dN，dT 既不能作简化也不能作假定。因此不同的方法只是对条间力的假定不同，同时对力和力矩平衡条件并不一定都满足。各种方法的简化条件如下:
( 1) Fellenius 法
黄土滑坡勘测技术与评价方法
代入式 6-24，即得:
黄土滑坡勘测技术与评价方法
将上式代入式 6-18 得稳定系数。
( 2) 简化 Bishop 法
黄土滑坡勘测技术与评价方法
此时式 6-19 化为:
黄土滑坡勘测技术与评价方法
将上式代入式6-18得稳定系数Fm。(3)Spencer法(1967)
黄土滑坡勘测技术与评价方法
则
黄土滑坡勘测技术与评价方法
代入6-21，再代入通用式6-16和6-18，则得Fm=Ff。
(4)Spencer法(1973)
黄土滑坡勘测技术与评价方法
令
黄土滑坡勘测技术与评价方法
则上式变为
黄土滑坡勘测技术与评价方法
即上面所推导的假定条间力方向的通用法。
(5)Morgenstern-Price法
给出了条间力的函数关系，即
黄土滑坡勘测技术与评价方法
为了使求解过程简化，进一步给出了一些线性化的函数，即当dx很小时，假定滑动面，微条重力和f(x)都为线性函数。
黄土滑坡勘测技术与评价方法
并令
黄土滑坡勘测技术与评价方法
得出如下差分公式:
黄土滑坡勘测技术与评价方法
依次根据式6-45和6-23，6-21和通用式6-16和6-18可得Fm=Ff。
即上面所推导的假定条间力方向的通用法采用的就是Morgenstern-Price法的假定，只是形式上不同。
Chen.Z.Y-Morgenstern在Morgenstern-Price的基础上推导出了数学上更为严谨的公式。
黄土滑坡勘测技术与评价方法
其中
黄土滑坡勘测技术与评价方法
黄土滑坡勘测技术与评价方法
此式与Morgenstern-Price法的实质是一样的，也只是形式上不同。
(6)Janbu法
对作用点的位置作出了假定，即假定zE=zE(x)是已知的，即当λ=1/3时
黄土滑坡勘测技术与评价方法
这相当于条间力的作用点在滑体垂直高度的1 /3 处，按通用法中第二种情况求解得Ei，
黄土滑坡勘测技术与评价方法
值得注意的是，虽然Janbu法在推导时，利用了力和力矩平衡方程，但方程数比未知量数多1个，严格地讲，该方法的解是不收敛的。保证其收敛的前提是放弃对某一平衡条件的要求。一般文献中所介绍的Janbu法是按力平衡条件求得的稳定系数，不满足力矩平衡条件。
(7)推力传递法
假定条间力满足:
黄土滑坡勘测技术与评价方法
对其两边求导得:
黄土滑坡勘测技术与评价方法
代入式6-21，6-19和6-16求得Ff。该方法不满足力矩平衡。
(8)Sarma法(1973)
假定条间力满足方程:dX=λf(x)dx(6-50)
且
黄土滑坡勘测技术与评价方法
令
黄土滑坡勘测技术与评价方法
根据力和力矩平衡得出:
黄土滑坡勘测技术与评价方法
黄土滑坡勘测技术与评价方法
上式中f(x)为给定的函数，Sarma假定斜坡土体处处达到极限状态，导出一个水平土压力公式，再按库仑强度公式导出其产生的剪力。
(9)Sarma法(1979)
假定条间力满足方程:
黄土滑坡勘测技术与评价方法
对其两边求导得:
黄土滑坡勘测技术与评价方法
令
黄土滑坡勘测技术与评价方法
根据力的平衡条件可以导出差分公式:
黄土滑坡勘测技术与评价方法
其中:
黄土滑坡勘测技术与评价方法
式6-54为递推公式，显然
黄土滑坡勘测技术与评价方法
根据最后一项边界条件方程，并逐级回代Ei，可求得k。该方法是斜条分法，不满足力矩平衡条件。
各种方法主要copy区别在于破坏面形状不同以及划分条块后条间力的处理，也就是如何增加已知条件使超静定问题变成静定问题。这些假定的物理意义不一样，所能满足的平衡条件也不同，计算步骤有繁有简，使用时应注意他们的适用场合。
露天井工联合开采边坡变形滑移面的机制特征，属于岩体的结构体破坏模式。因此，相对来讲，Ordinary和Bishop圆弧条分法对露天矿边坡的适用性较差，其余的几种方法都可以应用于露天矿的边坡稳定性评价。考虑到方法的严谨性，其中Morgenstern-Price方法同时考虑力矩平衡与力的平衡。因此，侧重推荐Morgenstern-Price方法。
圆弧法早在1916年由瑞典人Perttson首先提出，之后由Fellenius和Taylors等人不断改进，逐渐完善成为现在通称的简单条分法或瑞典圆弧法。它是基于平面应变假定，视滑面为一个圆筒面，分析时通常将滑体分成许多竖条，以条为基础进行力的分析，各条之间的力大小相等，其方向平行于滑面，以整个滑面的稳定力矩与滑动力矩之比作为安全系数。此后，许多学者在土力学及其工程研究中对极限平衡方法作了进一步研究，建立了Bishop法(1955年)，Janbu法(1957年)，Morgenstern Price法(1965年)，Spener法(1967年)及Sarma法(1973)[52]等。
6.2.3.1 瑞典圆弧法
该法假设条块之间的作用力对圆弧形滑动面上的法向应力分布没有影响，则作用于各垂直条块上的力如图6-1所示，其抗滑力与下滑力之比即为安全系数Fs:
煤矿露天井工联合开采理论与实践
图6-1 瑞典圆弧法中垂直条块受力情况示意图
式中:i为第i条块;r为圆弧半径;αi为条块地面中点切线与水平线夹角;Ui是条块地面中点处孔隙水压力;Wi为条块重量;Qi为作用在条块重心处的水平向地震惯性力，
为作用在条块重心处的垂向地震惯性力(向下为正)，Mc为Qi对圆心的力矩之和;Li为条块底部长度;ci和φi是条块地面中点处的粘聚力和内摩擦角。在不考虑地震影响时，公式中的Qi、
和Mc均取为零。
6.2.3.2 毕肖普(Bishop)法
Bishop法是一种改进的条分法，该法假定条块间有水平力的存在，但条块间不存在剪应力。根据这一假定，滑动面上的抗滑阻力Ti为:
煤矿露天井工联合开采理论与实践
图6-2 Bishop中垂直条块受力情况示意图
根据图6-2所示，在滑动面上沿着X轴建立平衡式，这时滑动面上的下滑力Si为:
Si=-ΔEicosαi+Qicosαi+Wisinαi(6-3)
当边坡达到极限平衡状态时，滑动面上的抗滑阻力与下滑力相等，可根据上列两式相等的条件，求得条块两侧的土压力增量ΔEi:
煤矿露天井工联合开采理论与实践
按竖直方向上的平衡条件，可以求得滑动面上的法向力Ni:
煤矿露天井工联合开采理论与实践
再根据水平方向的平衡条件，可求得整个边坡的安全系数为:
煤矿露天井工联合开采理论与实践
式中:i为第i条块;αi为条块地面中点切线与水平线夹角;Ui是条块地面中点处孔隙水压力;Wi为条块重量;Qi为作用在条块重心处的水平向地震惯性力;li为条块底部长度;ci和fi是条块地面中点处的粘聚力和内摩擦系数。在不考虑地震影响时，公式中的Qi取为零。
在公式中，左右两边都含有未知量k，计算时一般采用迭代法进行计算。
6.2.3.3 简布(Janbu)法
1954年，简布(Janbu)忽略条间剪切力，假定条间合力为水平推力，提出一种简化计算方法，但是没有满足力矩平衡条件。1973年，简布又提出了同时满足力平衡和力矩平衡条件的“通用条分法”。这种方法的一个重要方面在于假定水平推力的作用点位置。简布法假定界面上推力的作用点为已知，并假定界面上的阻力T与横推力E之间为一定的函数关系。
分条界面上的推力E，其作用点大致在分条的下三分点附近，如图6-3所示，推力作用点的连线即为推力作用线。
图6-3 Janbu法计算示意图
根据图6-4(a)，以滑动面上的法向力Ni作用点为力矩中心，按力矩平衡条件有:
TΔxi+0.5ΔTiΔxi+EΔh=ΔEihi-Qizi (6-7)
当分条界面上有地下水渗透压力时，如图6-5(b)所示，可将渗透压力当作外力进行处理，此时的力矩平衡式为:
TΔxi+0.5ΔTiΔxi+EΔh=ΔEihi-Qizi+Ui，i-1h″i-Ui，i-1h′i(6-8)
图6-4 Janbu法分条计算图
图6-5 条块间力函数曲线
如果对边坡进行条分时，分条数量较多，则每个分条较窄，这时ΔTi、Δxi为高级微量，在进行边坡稳定性分析时，可忽略不计。同时注意到下列关系:
煤矿露天井工联合开采理论与实践
由上述力矩平衡式，整理后得:
煤矿露天井工联合开采理论与实践
上式为界面上的横推力E与剪力T间的函数关系式。根据上述关系式，可以计算边坡的安全分项系数。具体计算步骤如下:
(1)令所有界面上的剪力Ti=0，这是毕肖普法的基本假定，这样可以采用毕肖普法计算边坡的安全分项系数。
第一近似安全分项系数求出后，采用下式计算Ei值:
煤矿露天井工联合开采理论与实践
累计ΔEi值，便可得各分条界面上的Ei值。
(2)将求得的Ei值和ΔEi值代入式(6-10)中，可求出Ti和ΔTi值，而后将Wi+ΔTi代替原来的Wi值，再次代入毕肖普法计算式，重复(6-3)的计算。多次循环计算，直至收敛。通常循环计算二三次，即可达到收敛。
简布法分析边坡的稳定性计算工作量较大，且非常繁琐，但其原理比较清晰。
6.2.3.4 Morgenstern-Price法
力矩的平衡:
煤矿露天井工联合开采理论与实践
力的平衡
煤矿露天井工联合开采理论与实践
基底条块法向力
煤矿露天井工联合开采理论与实践
条块间力
煤矿露天井工联合开采理论与实践
若已知条块间法向力，则根据 Morgenstern Price方法经验方程，条块间法向力的百分比来计算条块间剪切力:
X=Eλf(x) (6-16)
公式中:λ为条块间的力函数的百分比;
f(x)为表示条块间力的相对方向的力函数;本次计算采用如下图所示的力函数。
图6-6 临界滑体上力示意图
从滑动体中取出微分土条，土条宽度为dx，作用在该微分土条上的诸力如图6-2所示。
图6-2 作用在一个微条块上的力
基本假设:
( 1) 土体为刚体;
( 2) 土条底部法向力dN 的作用点处于土条底部中点;
( 3) 水平地震力dQ = ηdW
黄土滑坡勘测技术与评价方法
黄土滑坡勘测技术与评价方法
建立水平和铅垂方向的静力平衡方程:
黄土滑坡勘测技术与评价方法
对平面内任一点M(xM，zM)取矩得:
黄土滑坡勘测技术与评价方法
取掉上式中的高阶微量，则有
黄土滑坡勘测技术与评价方法
上式是力矩平衡方程的一般表达式，力矩平衡方程因取矩点不同，有各种不同的表达形式，但任何一种形式都是三个平衡方程6-1，6-2和6-4的线性组合，其结果是等效的。
将取矩点置于滑动面上的一点(x，z)，即令xM=x，zM=z，则6-4式变为:
黄土滑坡勘测技术与评价方法
对6-5式作进一步等价变换得:
黄土滑坡勘测技术与评价方法
即得
黄土滑坡勘测技术与评价方法
即
黄土滑坡勘测技术与评价方法
6-7式是以滑动面上的一点(x，z)取矩的力矩平衡方程。显然6-7式是6-1、6-2和6-6式的线性组合。
如果滑动面为圆弧，圆心为O(x0，z0)，半径为R，将圆参数方程表示为:
黄土滑坡勘测技术与评价方法
将取矩点放在圆心，即令xM=x0，zM=z0有:
黄土滑坡勘测技术与评价方法
将6-9代入6-4得
黄土滑坡勘测技术与评价方法
简化得:
黄土滑坡勘测技术与评价方法
6-9式是以圆心点O(x0，z0)取矩的力矩平衡方程，仅适用于圆弧形滑动面。
将取矩点放在微条的底面中点，即令xM=x+dx/2，zM=z+dz/2，则6-4式变为:
黄土滑坡勘测技术与评价方法
简化并略去高阶微量得到与6-6式完全相同的结果。可以证明，略去高阶微量后，对微分条块底面任一点取矩的方程是一样的。
土条底面法向力和切向力符合摩尔－库仑强度准则:
黄土滑坡勘测技术与评价方法
定义稳定系数为:
黄土滑坡勘测技术与评价方法
归纳以上各式，得二维极限平衡法的基本方程:
黄土滑坡勘测技术与评价方法
其中:
黄土滑坡勘测技术与评价方法
黄土滑坡勘测技术与评价方法
为了建立土的极限平衡条件，可将库仑强度线与莫尔应力圆画在同一张坐标专图中(图)。
莫尔应力圆与属库仑强度线之间的关系
它们之间的关系有以下三种情况：当整个莫尔应力圆位于库仑强度线的下方，即莫尔应力圆与库仑强度线不相交时(圆Ⅰ)时，说明该点在任何平面上的剪应力都小于土所能发挥的抗剪强度，因此不会发生剪切坏；当库仑强度线是莫尔应力圆的一条割线(圆Ⅲ)时，说明该点某些平面上的剪应力已超过了土的抗剪强度，表示该点土体已经破坏；当莫尔应力圆与库仑强度线相切(圆Ⅱ)，切点为A时，说明在A点所代表的平面上，剪应力正好等于抗剪强度，该点就处于极限平衡状态。圆Ⅱ称为极限应力圆。这就是说，通过莫尔应力圆与库仑强度线之间的几何关系，可建立极限平衡条件。
土的极限平衡条件是指土体处于极限平衡状态时土的应力状态和土的抗剪强度指标之间的关系式。
根据极限应力圆与抗剪强度包线之间的几何关系，可建立以土中主应力表示的土的极限平衡条件如下：
土的极限平衡条件同时表明，土体剪切破坏时的破裂面不是发生在最大切应力tmax的作用面a=45°上，而是发生在与大主应力的作用面成a=45°+j/2的平面上。
(6)极限平衡扩展资料：
极限平衡条件的应用
土的极限平衡条件常用来评判土中某点的平衡状态，具体方法一、已知主应力σ、σ，土的内摩擦角φ，可推求出土体处于极限平衡状态时所要求的内摩擦角φp°↔
（1）、若φq> p.表示保持土单元体不产生破坏所需要的内摩擦角大于土的实际内摩擦角，实际土体必破坏；
（2）、反之9r<φ.土单元体处于稳定状态。
（3）、当φr=φ.土单元体处于极限平衡状态。
二、是根据实际最小主应力σ；及土的极限平衡条件式，可推求土体处于极限平衡状态时所能承受的最大主应力σp或根据实际最小主应力σ；
及土的极限平衡条件式推求出土体处于极限平衡状态时所能承受的最小主应力σ3q，再通过比较计算值与实际值即可评判该点的平衡状态：
（1）、当σ，< σqp或σ> σ3p时，土体中该点处于稳定平衡状态；
（2）、当σj=σ1或σ3= σ3时，土体中该点处于极限平衡状态；（3）当σ> σit或σ，< Gse时，土体中该点处于破坏状态。
参考资料：网络-土的极限平衡条件
1、c、φ值是材料的固有属性，在材料尚未破坏的情况下，与这个材料所受的实回际应力答是没有关系的；
2、已知任意两个面的应力状态，就可以求出其余所有面的应力状态，就可以求出σx、σy、τxy。
3、特殊情况，在材料处于极限平衡状态下，若已知极限平衡面的τα，则可求出σx、σy、τxy。
综上所述，只知道c、φ和τα，若材料刚好处于极限平衡状态，且τα是位于极限平衡将要破坏的面，则可求出σx、σy、τxy，若不是这种特殊状态，则求不出。
土的强度破坏通常是描剪切破坏。当土体的剪应力等于土的抗剪强度时的临界内状态称为容“极限平衡状态”。到达极限平衡时土的应力状态和土的抗剪强度指标之间的关系,称为土的极限平衡条件。 求解土的极限平衡条件通常必顶利用摩尔应力园的方法。
目前常用源的二维极限平衡分析方法有：瑞典法（亦称作Fellenious法）、简化Janbu法、Bishop简化法、严格Janbu法、Lowe-Karafiath（罗厄）法、美国陆军工程师团法、Morgenstern-Price法、Spencer法、垂直条分Sarma法、斜条分Sarma法、传递系数法等，区别主要在于条间力假设。这些方法都是假定滑体各分条块在某种条件下（超载或材料强度折减）在剪切面上都达到极限平衡状态，并将超载倍数或强度折减的系数定义为边坡稳定的安全系数。上述各种极限平衡分析方法是一些基本的分析方法，在分析中需要进行迭代计算，在计算时会遇到迭代不收敛及计算精度问题。随着岩土力学、数值分析方法和计算机技术的发展，许多学者对这些分析方法进行了不断地改进、发展与完善。
欢欢速度采纳！！！
根据摩尔库仑破坏准则来研究土体单元处于极限平衡状态时的应力条件及大小主应力之间的关系，该关系称为土的极限平衡条件。
