注意：！！！
小写字母代表单个标量
大写字母代表矩阵
小写字母头上带个小箭头代表向量
1. 模型结构解析：
观察图(a),可以发现，在隐藏层的旁边，FSMN挂了一个记忆模块Memory Block，记忆模块的作用与LSTM门结构类似，可以用来记住t时刻输入信息的相邻时刻序列的信息。
根据记忆模块编码方式的区别，FSMN又可以分为sFSMN和vFSMN，前者代表以标量系数编码，后者代表以向量系数编码。
如图(b)的结构，以记住前N个时刻信息为例，其计算公式如下：
\\[ \\vec{\\tilde{h}_t^l} = \\sum_{i=0}^{N}a_i^l\\cdot \\vec{h_{t-i}^l},in...sFSMN\\tag{1} \\]
\\[ \\vec{\\tilde{h}_t^l} = \\sum_{i=0}^{N}\\vec{a_i^l}\\odot\\vec{h_{t-i}^l},in...vFSMN\\tag{2} \\]
其中，(1)式代表的标量乘积，(2)式代表的是Hadamard积
因此，可以得到sFSMN下的编码系数向量和vFSMN下的编码系数矩阵：
\\[ \\vec{a^l}=\\{ a_0^l,a_1^l,...,a_N^l\\},in...sFSMN\\tag{3} \\]
\\[ A^l =\\{ \\vec{a_0^l},\\vec{a_1^l},...,\\vec{a_N^l}\\},in...vFSMN\\tag{4} \\]
有了这一个隐藏层旁挂着的记忆模块，就要将此记忆模块作为输入传递到下一个隐藏层，如图(a)：
\\[ \\vec{h_t^{l+1}} =f(W^l\\vec{h_t^l}+\\tilde{W}^l\\vec{\\tilde{h}_t^l} +\\vec{b^l} )\\tag{5} \\]
多出来的权重矩阵和偏置系数向量，都是后续训练模型需要调整的参数。
以上就是简单的回看式FSMN，也就是说当下的记忆模块只关注了它之前的信息，如果还要关注未来的信息，实现上下文联通，也就是所谓的双向的FSMN，直接在(1)式和(2)式中添加后看的阶数即可，如下：
\\[ \\vec{\\tilde{h}_t^l} = \\sum_{i=0}^{N_1}a_i^l\\cdot \\vec{h_{t-i}^l}+\\sum_{j=1}^{N_2}c_j^l\\cdot \\vec{h_{t+j}^l},in...sFSMN\\tag{6} \\]
\\[ \\vec{\\tilde{h}_t^l} = \\sum_{i=0}^{N_1}\\vec{a_i^l}\\odot\\vec{h_{t-i}^l}+\\sum_{j=1}^{N_2}\\vec{c_j^l}\\odot\\vec{h_{t+j}^l},in...vFSMN\\tag{7} \\]
其中N1和N2分别代表前看和后看的阶数。
2. 在文本段落上的应用
给定一个包含T个单词的序列X，我们可以构造一个T阶的方阵M：
\\[ M = \\left[ \\begin{matrix} a_0 & a_1 & \\cdots& a_N&0 & \\cdots&0\\\\ 0 & a_0 &a_1 &\\cdots& a_N &\\cdots&0 \\\\ \\vdots & \\vdots & \\ddots &\\vdots&&&\\vdots \\\\ 0 & 0 & \\cdots & a_0&a_1&\\cdots&a_N \\\\\\vdots&\\cdots&&&\\ddots&&\\vdots\\\\\\\\0&\\cdots&&&&&a_0\\\\ \\end{matrix} \\right]_{T\\times T}in...sFSMN\\tag{8} \\]
\\[ M = \\left[ \\begin{matrix} a_0 & a_1 & \\cdots& a_{N_1}&0 & \\cdots&\\cdots&\\cdots&0\\\\ c_1 & a_0 &a_1 &\\cdots& a_{N_1}&\\cdots&\\cdots&\\cdots&0\\\\c_{N_2}&\\cdots&c_1&a_0&a_1&\\cdots&a_{N_1}&\\cdots&0 \\\\ \\vdots && \\vdots & \\ddots &\\ddots&&&\\vdots \\\\ 0 &\\cdots &c_{N_2}& \\cdots &c_1& a_0&a_1&\\cdots&a_{N_1} \\\\\\vdots&\\cdots&&&&&\\ddots&&\\vdots\\\\\\\\0&\\cdots&&&&c_{N_2}&\\cdots&c_1&a_0\\\\ \\end{matrix} \\right]_{T\\times T}in...vFSMN\\tag{9} \\]
鉴于上式，我们就有了很美的以下这个公式：
\\[ \\tilde{H} =HM\\tag{10} \\]
更为推广的，对于给定的K个序列：
\\[ L=\\{X_1,X_2,...,X_K\\}\\tag{11} \\]
一个更美的公式诞生了：
\\[ \\tilde{H} =\\left[ \\begin{matrix}H_1,H_2,...,H_K\\end{matrix} \\right]\\left[ \\begin{matrix}M_1&&&\\\\&M_2\\\\&&\\ddots\\\\&&&&M_K\\end{matrix} \\right]=\\bar{H}\\bar{M}\\tag{12} \\]
