线性回归——lasso回归和岭回归（ridge regression）

目录

• 线性回归——最小二乘
• Lasso回归和岭回归
• 为什么 lasso 更容易使部分权重变为 0 而 ridge 不行？
• References

线性回归很简单，用线性函数拟合数据，用 mean square error (mse) 计算损失（cost），然后用梯度下降法找到一组使 mse 最小的权重。

lasso 回归和岭回归（ridge regression）其实就是在标准线性回归的基础上分别加入 L1 和 L2 正则化（regularization）。

本文的重点是解释为什么 L1 正则化会比 L2 正则化让线性回归的权重更加稀疏，即使得线性回归中很多权重为 0，而不是接近 0。或者说，为什么 L1 正则化（lasso）可以进行 feature selection，而 L2 正则化（ridge）不行。

线性回归——最小二乘

线性回归（linear regression），就是用线性函数 \\(f(\\bm x) = \\bm w^{\\top} \\bm x + b\\) 去拟合一组数据 \\(D = \\{(\\bm x_1, y_1), (\\bm x_2, y_2), ..., (\\bm x_n, y_n)\\}\\) 并使得损失 \\(J = \\frac{1}{n}\\sum_{i = 1}^n (f(\\bm x_i) - y_i)^2\\) 最小。线性回归的目标就是找到一组 \\((\\bm w^*, b^*)\\)，使得损失 \\(J\\) 最小。

线性回归的拟合函数（或 hypothesis）为：
\\[ f(\\bm x) = \\bm w^{\\top} \\bm x + b \\tag{1} \\]

cost function (mse) 为：
\\[ \\begin{split} J &= \\frac{1}{n}\\sum_{i = 1}^n (f(\\bm x_i) - y_i)^2 \\\\ & = \\frac{1}{n}\\sum_{i = 1}^n (\\bm w^{\\top} \\bm x_i + b - y_i)^2 \\end{split} \\tag{2} \\]

Lasso回归和岭回归

Lasso 回归和岭回归（ridge regression）都是在标准线性回归的基础上修改 cost function，即修改式（2），其它地方不变。

Lasso 的全称为 least absolute shrinkage and selection operator，又译最小绝对值收敛和选择算子、套索算法。

Lasso 回归对式（2）加入 L1 正则化，其 cost function 如下：
\\[ J = \\frac{1}{n}\\sum_{i = 1}^n (f(\\bm x_i) - y_i)^2 + \\lambda \\|w\\|_1 \\tag{3} \\]

岭回归对式（2）加入 L2 正则化，其 cost function 如下：
\\[ J = \\frac{1}{n}\\sum_{i = 1}^n (f(\\bm x_i) - y_i)^2 + \\lambda \\|w\\|_2^2 \\tag{4} \\]

Lasso回归和岭回归的同和异：

• 相同：
  • 都可以用来解决标准线性回归的过拟合问题。
• 不同：
  • lasso 可以用来做 feature selection，而 ridge 不行。或者说，lasso 更容易使得权重变为 0，而 ridge 更容易使得权重接近 0。
  • 从贝叶斯角度看，lasso（L1 正则）等价于参数 \\(\\bm w\\) 的先验概率分布满足拉普拉斯分布，而 ridge（L2 正则）等价于参数 \\(\\bm w\\) 的先验概率分布满足高斯分布。具体参考博客 从贝叶斯角度深入理解正则化 -- Zxdon 。

为什么 lasso 更容易使部分权重变为 0 而 ridge 不行？

lasso 和 ridge regression 的目标都是 \\(\\min_{\\bm w, b} J\\)，式（3）和（4）都是拉格朗日形式，其中 \\(\\lambda\\) 为拉格朗日乘子，我们也可以将 \\(\\min_{\\bm w, b} J\\) 写成如下形式：

• lasso regression:
  \\[ \\begin{array}{cl} {\\min \\limits_{w, b}} & {\\dfrac{1}{n}\\sum_{i = 1}^n (\\bm w^{\\top} \\bm x_i + b - y_i)^2} \\\\ {\\text{s.t.}} &{\\|w\\|_1 \\le t} \\end{array} \\tag{5} \\]

• ridge regression:
  \\[ \\begin{array}{cl} {\\min \\limits_{w, b}} & {\\dfrac{1}{n}\\sum_{i = 1}^n (\\bm w^{\\top} \\bm x_i + b - y_i)^2} \\\\ {\\text{s.t.}} &{\\|w\\|_2^2 \\le t} \\end{array} \\tag{6} \\]

式（5）和（6）可以理解为，在 \\(\\bm w\\) 限制的取值范围内，找一个点 \\(\\hat{\\bm w}\\) 使得 mean square error 最小，\\(t\\) 可以理解为正则化的力度，式（5）和（6）中的 \\(t\\) 越小，就意味着式（3）和（4）中 \\(\\lambda\\) 越大，正则化的力度越大 。

以 \\(\\bm x \\in R^2\\) 为例，式（5）中对 \\(\\bm w\\) 的限制空间是方形，而式（6）中对 \\(\\bm w\\) 的限制空间是圆形。因为 lasso 对 \\(\\bm w\\) 的限制空间是有棱角的，因此 \\(\\arg \\min_{w, b} {\\frac{1}{n}\\sum_{i = 1}^n (\\bm w^{\\top} \\bm x_i + b - y_i)^2}\\) 的解更容易切在 \\(\\bm w\\) 的某一个维为 0 的点。如下图所示：

Fig.1[1] Lasso (left) and ridge (right) regression.

Fig. 1 中的坐标系表示 \\(\\bm w\\) 的两维，一圈又一圈的椭圆表示函数 \\(J = {\\frac{1}{n}\\sum_{i = 1}^n (\\bm w^{\\top} \\bm x_i + b - y_i)^2}\\) 的等高线，椭圆越往外，\\(J\\) 的值越大，\\(\\bm w^*\\) 表示使得损失 \\(J\\) 取得全局最优的值。使用 Gradient descent，也就是让 \\(\\bm w\\) 向着 \\(\\bm w^*\\) 的位置走。如果没有 L1 或者 L2 正则化约束，\\(\\bm w^*\\) 是可以被取到的。但是，由于有了约束 \\(\\|w\\|_1 \\le t\\) 或 \\(\\|w\\|_2^2 \\le t\\)，\\(\\bm w\\) 的取值只能限制在 Fig. 1 所示的灰色方形和圆形区域。当然调整 \\(t\\) 的值，我么能够扩大这两个区域。

等高线从低到高第一次和 \\(\\bm w\\) 的取值范围相切的点，即是 lasso 和 ridge 回归想要找的权重 \\(\\hat{\\bm w}\\)。

lasso 限制了 \\(\\bm w\\) 的取值范围为有棱角的方形，而 ridge 限制了 \\(\\bm w\\) 的取值范围为圆形，等高线和方形区域的切点更有可能在坐标轴上，而等高线和圆形区域的切点在坐标轴上的概率很小。这就是为什么 lasso（L1 正则化）更容易使得部分权重取 0，使权重变稀疏；而 ridge（L2 正则化）只能使权重接近 0，很少等于 0。

正是由于 lasso 容易使得部分权重取 0，所以可以用其做 feature selection，lasso 的名字就指出了它是一个 selection operator。权重为 0 的 feature 对回归问题没有贡献，直接去掉权重为 0 的 feature，模型的输出值不变。

对于 ridge regression 进行 feature selection，你说它完全不可以吧也不是，weight 趋近于 0 的 feature 不要了不也可以，但是对模型的效果还是有损伤的，这个前提还得是 feature 进行了归一化。

References