我看过拓扑书籍,我来回答,因为PINO曲线它是说明的当时维数定义有模糊,所以呢,引出了分数专维数的概念属.直观想,曲线是一维的,平面是2维的,甚至,还有类似空间的PINO曲线,填满就是说在极限情况下,平面内的任意空间都存在该曲线有交集.看下拓扑学特别是点集拓扑的书,因为PINO曲线是在正方形里构造出来的，所以呢，该曲线的点集当然也包括它本身了，．．．
^function [z,A]=X(z,A,n);
% Example:
% [z,A]=X(0,pi/2,0);
N=3; % 递归抄次数
len=400/3^n;
hold on;
if n>=N
plot([z,z+len*exp(i*A)]/i);
z=z+len*exp(i*A);
else
[z,A]=X(z,A,n+1); % X
A=A+pi/3; % +
[z,A]=Y(z,A,n+1); % YF
[z,A]=F(z,A,n+1);
A=A+pi*2/3; % ++
[z,A]=Y(z,A,n+1); % YF
当然不是单射.
安装几何画板5.06最强中文版，在帮助中就有使用手册，使用手册关于迭代的讲解有谢宾斯基三角形的做法。柯赫雪花曲线同理可做。
皮亚诺（Peano）曲线是一条能够填满正方形的曲线。在传统概念中，曲线的数维是回1维，
正方形是2维。1890年，意大利答数学家皮亚诺（Peano
G）发明能填满一个正方形的曲线，叫做皮亚诺曲线。皮亚诺对区间[0，1]上的点和正方形上的点的对应作了详细的
皮亚诺（Peano）曲线是copy一条能够填满正方形的曲线。 在传统概念中，曲线的为数是1维， 正方形是2维。
1890年，意大利数学家皮亚诺（Peano G)发明能填满一个正方形的曲线，叫做皮亚诺曲线。皮亚诺对区间[0，1]上的点和正方形上的点的对应作了详细的数学描述。实际上，正方形的这些点对于t∈[0,1],可规定两个连续函数x=f(t)和y=g(t),使得x和y取属于单位正方形的每一个值。后来，希尔伯特作出了这条曲线。
一般来说，一维的东西是不可能填满2维的方格的。 但是皮亚诺曲线恰恰给出了反例。
这说明我们对维数的认识是有缺陷的，有必要重新考察维数的定义。 这就是分形几何考虑的问题。 在分形几何中， 维数可以是分数叫做分维。
此外皮亚诺曲线是连续的但处处不可导的曲线。 因此如果我们想要
研究传统意义上的曲线， 就必须加上可导的条件，以便排除像皮亚诺曲线这样的特例。
皮亚诺曲线是一曲线序列的极限，不再是通常定义下的曲线。下文中“曲线专”应解释为“曲属线的极限”。只要恰当选择函数，画出一条连续的参数曲线，当参数t在0、1区间取值时，曲线将遍历单位正方形中所有的点，得到一条充满空间的曲线。 皮亚诺曲线是一条连续而又不可导的曲线。
解析：
(1) 匹亚诺曲线无解析式
(2) y=[x²]的图像
可以直接构造，参见Armstrong 的《基础拓扑学》 2.3充满空间的曲线
function [z,A]=X(z,A,n);
% Example:
% [z,A]=X(0,pi/2,0);
N=3; % 递归次数
len=400/3^n;
hold on;
if n>=N
plot([z,z+len*exp(i*A)]/i);
z=z+len*exp(i*A);
else
[z,A]=X(z,A,n+1); % X
A=A+pi/3; % +
[z,A]=Y(z,A,n+1); % YF
[z,A]=F(z,A,n+1);
A=A+pi*2/3; % ++
[z,A]=Y(z,A,n+1); % YF
[z,A]=F(z,A,n+1);
A=A-pi/3; % –
[z,A]=F(z,A,n+1); % FX
[z,A]=X(z,A,n+1);
A=A-pi*2/3; % —
[z,A]=F(z,A,n+1); % FXFX
[z,A]=X(z,A,n+1);
[z,A]=F(z,A,n+1);
[z,A]=X(z,A,n+1);
A=A-pi/3; % –
[z,A]=Y(z,A,n+1); % YF
[z,A]=F(z,A,n+1);
A=A+pi/3; % +
end
axis on;
axis equal
function [z,A]=Y(z,A,n);
N=3; % 递归次数
len=400/3^n;
hold on;
if n>=N
plot([z,z+len*exp(i*A)]/i);
z=z+len*exp(i*A);
else
len=400/3^n;
hold on;
A=A-pi/3; % –
[z,A]=F(z,A,n+1); % FX
[z,A]=X(z,A,n+1);
A=A+pi/3; % +
[z,A]=Y(z,A,n+1); % YFYF
[z,A]=F(z,A,n+1);
[z,A]=Y(z,A,n+1);
[z,A]=F(z,A,n+1);
A=A+pi*2/3; % ++
[z,A]=Y(z,A,n+1); % YF
[z,A]=F(z,A,n+1);
A=A+pi/3; % +
[z,A]=F(z,A,n+1); % FX
[z,A]=X(z,A,n+1);
A=A-pi*2/3; % —
[z,A]=F(z,A,n+1); % FX
A=A-pi/3; % –
[z,A]=X(z,A,n+1);
[z,A]=Y(z,A,n+1); % Y
end
axis on;
axis equal ;
function [z,A]=F(z,A,n);
len=400/3^n;
hold on;
plot([z,z+len*exp(i*A)]/i);
z=z+len*exp(i*A);
axis on;
axis equal ;
